 Il modello di Bohr e il modello
di Rutherford forniscono previsioni
differenti per le frequenze della luce
che può essere emessa da un atomo di
idrogeno. Nel modello classico di
Rutherford, la radiazione
elettromagnetica è prodotta dagli
elettroni orbitanti, e la frequenza della
luce emessa da un particolare elettrone
è la stessa della frequenza orbitale di
quell'elettrone. Nel modello di Bohr, la
radiazione si produce quando un elettrone
compie una transizione fra due livelli
energetici, e la frequenza è data dalla
variazione di energia divisa per la
costante di Planck.
| Rutherford 
|
Bohr 
|
Queste
due formule non sembrano avere nessun
legame fra loro. Tuttavia, nella
dimostrazione seguente, mostrerò che
l'equazione di Rutherford diventa, per
alti livelli energetici, una buona
approssimazione di quella di Bohr.
Basandosi sulla formula di Balmer, Bohr suppose che il momento
angolare L di un elettrone in
un atomo di idrogeno dovesse
soddisfare la condizione
dove n è un
intero positivo. Se l'elettrone è in
un'orbita circolare intorno al nucleo al
livello di energia n, il suo
momento angolare si può esprimere anche
con l'equazione
dove m è la
massa dell'elettrone e v e r
sono la sua velocità e il suo raggio
orbitale. Perciò,
Per trovare un'altra
relazione fra r e v,
possiamo applicare la seconda legge di
Newton, F= ma, e la forza
di Coulomb all'elettrone--questo è già
stato fatto. Usando la formula di Bohr
per il momento angolare, otteniamo che
o
A
questo punto, sostituendo nell'equazione (3),
Si può calcolare
l'energia totale di un elettrone in un
particolare livello n:
Sostituendo i valori di
r e v ottenuti in (5) e (6),
l'espressione può essere scritta come
(B è legato
alla costante di Rydberg, R.)
Con questa
espressione di E, è chiaro che la
differenza fra i livelli energetici n+1
e n risulta
Per grandi valori di n,
questa differenza di energia si
approssima a
Consideriamo ora la
frequenza orbitale dell'elettrone. La sua
frequenza angolare al
livello n dev'essere
o, sostituendo i valori
di r e v dalla (5) e (6),
Usando il valore di A
definito nell'equazione (5),
Ma
perciò
Quest'espressione è
molto simile a quella per la differenza
di energia (10).
La cosa notevole è che
per grandi valori di n.
Come mai quest'espressione è così
importante? Ricordiamoci
che
Questo
implica che
per grandi valori di n,
il che rende le formule
di Rutherford e di Bohr equivalenti nel limite.
Perciò, al crescere di n, la
frequenza della radiazione emessa si
avvvicina alla frequenza orbitale
dell'elettrone.
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